Syntex of First Order Logic

 

Syntax and Semantics

수학에서의 공리는 두가지 방법으로 바라볼 수 있다. 첫 번째는 공리를 문장 그 자체로 보는 방법이고, 두 번째는 공리를 문장의 의미로 바라보는 방법이다. 첫 번째 바라보는 방법은 syntax(구문론) 이라 하고, 두 번째 바라보는 방법은 semantics(의미론)이라 한다.

[Shoenfield] 에서는 공리를 구문론으로 바라보는 것이 더 적절하다고 한다. 첫째, 의미론으로 살펴보면 공리가 사용되는 언어에 따라 달라질 수 있다. 하나의 공리의 의미라 하더라도 각각의 언어 마다 다른 문장을 가지게 될 것이다. 그렇다면 각 언어에 맞는 각 공리를 따로 배워야 하는데, 이는 썩 좋은 방법은 아니다. 두번째, 수학은 자세한 대상이 아닌 추상적인 대상을 공부한다. 이는 내가 드는 예시는 사과를 더하는 문제 이야기이다. 나는 사과 두 개를 가지고 있는데 친구가 사과 세 개를 주었다. 그럼 나는 사과 몇 개를 가지게 될까? 우리 머리속으로는 진짜 사과를 더하는 작업이 아닌 추상적인 숫자 2와 3 그리고 이를 더한 결과 5로 다시 사과 다섯 개로 바꾼다. 문제를 살짝 뒤틀어서 사과가 아니라 바나나가 된다면? 공리를 추상적인 문장 구문으로 다루게 된다면, 이러한 언어의 해석에 대해서도 자유롭게 논리를 펼칠 수 있다. 하나의 문장으로 부터 도출된 결론은 다른 의미로 해석하게 되더라도 동일하게 타당한 증명이 될 것이다. 마치 앞의 삼단 논법을 소크라테스와 죽음 뿐만 아니라 다른 예시에서도 적용이 되는 것 처럼 말이다.

Syntax (구문)

Semantics (의미)

Variable of First Order Logic

Free Variable